Di era paperless ini, mungkin angkatan milenial kurang membutuhkan kertas HVS karena apa-apa sudah tergantikan oleh gadget. Mulai dari koran yang tergantikan media elektronik, sampai tugas laporan yang tak perlu lagi ditulis tangan manual. Bisa jadi mungkin beberapa puluh tahun kemudian, tidak ada orang yang bisa menulis tangan.
Meski begitu, kertas sepertinya akan selalu menjadi hal yang sangat penting, tak hanya di dunia pendidikan, untuk tulis menulis, tapi juga di dunia perdagangan lokal seperti misalnya untuk bungkus gorengan.
Mahasiswa saintek juga biasanya masih membutuhkan kertas. Itulah mengapa kita sering menjumpai serpihan formula-formula integral lipat dua dengan koordinat polar di bungkus-bungkus gorengan warung kampus atau fakultas.
Salah satu mahasiswa yang masih membutuhkan kertas mungkin adalah mahasiswa matematika. Ketimbang menggunakan Latex atau Microsoft Equation, mahasiswa matematika mungkin lebih memilih menulis tangan untuk menurunkan formula-formula rumitnya.
Sejak SD kita telah mengenal berbagai macam jenis kertas seperti kertas buku tulis kecil dan isi binder (A5 atau B5), kertas buku gambar (A3 atau A4), kertas yang biasa buat ngeprint tugas (A4), kertas koran (A2), dan kertas buku catatan/note (A6 atau A7). Tahu nggak sih kertas-kertas tersebut memiliki pola geometrik.
Barisan geometri luas kertas HVS
Kita ambil sampel kertas HVS tipe A. Semua bermula dari A0 yakni ukuran kertas tipe A paling besar yang dijadikan standar ISO. A0 adalah kertas yang luasnya setara 1 meter persegi dengan lebar dan panjang 84,1 x 118,9 cm. Jika A0 dilipat menjadi 2 bagian sama besar maka menjadi A1. A1 dibagi 2 menjadi A2, A2 menjadi A3, dan seterusnya. Secara matematis dapat ditulis
A0 = 2 x A1
A1 = 2 x A2 = ½ x A0
A2 = 2 x A3 = ½ x A1
…
A(n) = ½ x A(n-1) = ½ x ½ x A(n-2) = … = (½)^(n) x A(n-n)
A(n) = A0 x (½)^(n)
Sampai di sini mulai terlihat kesamaan rumus A(n) dengan Un barisan geometri, yaitu
Un = U1 x r^(n-1)
Terlihat bahwa luas kertas HVS adalah barisan geometri dengan suku pertama A(0) dan rasionya ½. Dalam bentuk barisan geometri, dapat ditulis
A0, A1, A2, A3, A4, A5, …., A(n)
Misal A0=A
A, A/2, A/4, A/8, A/16, …, A/(2^n)
Barisan geometri panjang dan lebar kertas HVS
Kertas HVS tipe A berstandar ISO 216 yaitu persegi panjang dengan rasio 1:√2. Dalam dunia matematika dikenal juga dengan istilah silver rasio. Oleh karena itu jika sebuah kertas A(n) panjangnya √2 dan lebarnya 1, sebuah kertas A(n+1) panjangnya √2/√2 = 1 dan lebarnya 1/√2. Secara matematis dapat ditulis:
pA0 = √2 x pA1
pA1 = √2 x pA2 = 1/√2 x pA0
pA2 = √2 x pA3 = 1/√2 x pA1
…
pA(n) = 1/√2 x pA(n-1) = 1/√2 x 1/√2 x pA(n-2) = …
pA(n) = (1/√2)^(n) x pA(n-n)
pA(n) = pA0 x (1/√2)^(n)
Terlihat bahwa panjang (ataupun lebar) kertas HVS adalah barisan geometri dengan suku pertama pA(0) dan rasionya 1/√2. Dalam sebuah barisan geometri dapat ditulis sebagai berikut:
pA0, pA1, pA2, pA3, pA4, pA5, …., pA(n)
Misal pA0 = pA
pA, pA/2, pA/4, pA/8, pA/16, …, pA/(√2^n)
Penerapan dan kegunaan
Pengetahuan tentang hal ini, tentu berguna manakala kita dalam keadaan terdesak tidak ada koneksi internet namun ingin mengetahui ukuran suatu kertas (oke, ini berlebihan sih). Biasanya, kita hanya hafal ukuran kertas A4 saja yaitu 21 x 29,7 cm. Kita akan mengetahui ukuran kertas A6.
Diketahui:
pA4 = 29,7 cm dan lA4 = 21 cm
r = 1/√2
n = 6-4 = 2
Ditanya: ukuran kertas A6?
Jawab:
pA6 = pA4 x (1/√2)^(2) = 29,7 x ½ = 14,85
lA6 = lA4 x (1/√2)^(2) = 21 x ½ = 10,5
Maka, ukuran kertas A6 adalah 10,5 x 14,85 cm.
Deret geometri luas kertas HVS
Pada tulisan saya sebelumnya tentang kasus bakteri yang menjadi soal langganan di ujian matematika, saya sempat menyinggung sedikit tentang deret geometri tak hingga. Dalam mata kuliah kalkulus, deret seperti ini dinamakan deret konvergen, yaitu deret yang nilainya akan mendekati suatu angka tertentu.
Contoh:
Sn = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + …..
(deret geometri tak hingga dengan suku pertama 32 dan rasio 0,5)
Jika memakai rumus matematis, deret geometri tak hingga dapat dirumuskan
Sn = a/(1-r)
dengan a adalah suku pertama, dan r adalah rasio. Maka deret tersebut akan bernilai
Sn = 32/(1-0,5) = 32/0,5 = 64
Dengan menerapkan langkah yang sama, dapatkah Anda menghitung nilai deret geometri tak hingga pada deret kertas HVS berikut?
Sn = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + ….
Ya, deret tersebut akan bernilai A0. Tapi, kok bisa sih rumus tersebut didapatkan. Sebenarnya dari mana asal-usulnya? Asal-usul rumus tersebut adalah penurunan dari rumus umum deret geometri dengan r < 1 dan n = tak hingga. Adapun asa- usul deret tak hingga sebenarnya adalah sebuah angka yang dipartisi sedemikian rupa, contohnya sebagai berikut:
= 64
= 32 + 32
= 32 + 16 + 16
= 32 + 16 + 8 + 8
= 32 + 16 + 8 + 4 + 4
Ya, kalau dilanjutkan terus-menerus kira-kira visualisasinya akan sama dengan gambar ukuran kertas HVS yang saya lampirkan di awal tulisan. Oh iya, satu tokoh matematika yang terkenal meneliti tentang ini adalah Ramanujan. Jika Anda penikmat film biografi, ada baiknya untuk menonton “The Man Who Knew Infinity” (2015). Semoga dapat bermanfaat. Sekian~
Sumber gambar: Wikipedia
BACA JUGA 6 Aplikasi yang Bikin Mudah Ngerjain Soal Matematika dan tulisan Rezky Yayang Yakhamid lainnya.
Terminal Mojok merupakan platform User Generated Content (UGC) untuk mewadahi jamaah mojokiyah menulis tentang apa pun. Submit esaimu secara mandiri lewat cara ini ya.
Pernah menulis di Terminal Mojok tapi belum gabung grup WhatsApp khusus penulis Terminal Mojok? Gabung dulu, yuk. Klik link-nya di sini.
